Elipse

Historia 

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.

En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra “focus” y publicó su descubrimiento en 1609. 

Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol

Definición: Elipse

Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, con la propiedad que la suma de sus distancias a los puntos fijos F y F', llamados focos, es una cantidad constante que se representa por 2a.

Si P es un punto en la elipse se cumple que:

PF + PF'=2a

Elementos y Magnitudes de una Elipse

Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:
Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento que une los focos.
Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple

Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dichopunto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a-e·x   y   d(P, F') = a+e·x

La Excentricidad

Excéntrico en este caso significa fuera del centro. Se refiere a qué tan lejos del centro de la elipse se encuentran los focos en proporción al tamaño de dicha elipse.

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su Semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

Para comprender mejor este concepto basta darse cuenta que en una elipse mientras más se alejen los focos del centro, la forma de dicha elipse es más alargada. En el caso contrario cuando los focos se acercan al centro, es decir, si valor de c se hace más pequeño, la elipse se aproxima a una circunferencia, y finalmente, cuando los focos coinciden con el centro, o sea que c=0, la elipse se convierte en una circunferencia

Ecuación de una Elipse

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas

la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Bibliografía

•  Schickendantz, C. F. (2013). Una elipse con dos focos: hacia un nuevo método teológico a partir de           Gaudium et spes.
• Santa, Zaida; Jaramillo, Carlos Mario (2011). La elipse como lugar geométrico a través de la geometría del doblado de papel en el contexto de Van Hiele. En García, Gloria (Ed.), Memorias del 12° Encuentro Colombiano de Matemática Educativa (pp. 813-821). Armenia: Gaia. http://asocolme.org/