Hipérbola

Historia

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratósteles.

Definición: la hipérbola:
Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

​En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Elementos de la hipérbola:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento   FF'→  de longitud 2c.

Eje mayor: Es el segmento  AA'→   de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento  BB'→   de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 

Relación entre los semiejes: 

Ecuaciones de la hipérbola

 

Aplicaciones en las construcciones

Gracias a la geometría hiperbólica se han construido numerosas estructuras con forma de hiperboloide. Éstas tienen curvatura gausianna negativa, lo que significa que la curva se genera hacia el interior en vez de recta o hacia el exterior y además la superficie es doblemente reglada lo que significa que se puede realizar con un entramado de vigas rectas. Debido a esto son más fáciles de construir y más resistentes que las estructuras curvadas, las cuales necesitan vigas curvas para su construcción.

Las estructuras hiperboloides suelen ser más estables que los edificios rectos pero a cambio generan mucho volumen inutilizable. Razón por la cual a menudo se han utilizado en estructuras altas como torres de TV, de almacenamiento de agua o con finalidades estéticas.